Введение в динамические системы
Динамические свойства систем автоматического регулирования относятся к их поведению во времени под влиянием различных внешних и внутренних воздействий. Эти свойства определяют, как система реагирует на изменения, как быстро и эффективно она может достичь желаемого состояния или поддерживать его при возмущениях.
Исследование динамических свойств систем автоматического регулирования является одной из центральных задач теории автоматического регулирования.
Без ясных представлений о динамических свойствах систем автоматического регулирования немыслимо не только предопределить их поведение в реальных условиях, когда они неизбежно подвергаются изменяющимся внешним воздействиям, но даже правильно понять основные принципиальные положения, на которых основана работа автоматических регуляторов.
Энергетические аспекты систем автоматического регулирования
Действие системы автоматического регулирования всегда связано с изменением величин, характеризующих состояние ее элементов (управляющего воздействия, положения регулирующего органа, регулируемой величины и т. п.). Но изменение состояния элемента системы невозможно без изменения запаса энергии или вещества, содержащегося в данном элементе.
Так, изменение уровня жидкости в резервуаре не может произойти без изменения количества содержащейся в нем жидкости, изменение температуры в печи связано с изменением запаса тепла в ней, а для перемещения регулирующего органа необходимо сообщить ему определенную скорость, для чего в приводе регулирующего органа должен накопиться определенный запас кинетической энергии и т. п.
Если бы изменение состояния элементов системы могло происходить мгновенно, то это означало бы, что запас энергии или вещества в них за бесконечно малое время получил конечное приращение. Но для этого потребовалось бы, чтобы мощность потока энергии, притекающего к соответствующим элементам или вытекающего из них, принимала бесконечно большое значение, что невозможно.
Следовательно, состояние элемента системы не может изменяться мгновенно, а происходит во времени — в результате определенного процесса. Поэтому системы автоматического регулирования следует рассматривать как динамические системы.
Принципы динамических изменений в системах
Характерной особенностью динамических систем является то, что между величинами, характеризующими состояние динамической системы, не существует однозначной функциональной связи, и зависимость одной величины от другой (или других) определяется дифференциальными уравнениями, связывающими между собой значения зависимых величин и их производных по времени, т. е. скоростей их изменения, ускорений и т. д.
Эта особенность динамических систем подчеркивает их временную природу и необходимость учета истории системы для понимания ее текущего и будущего состояний. Дифференциальные уравнения, описывающие динамические системы, могут быть как линейными, так и нелинейными, и их решения могут варьироваться от простых аналитических выражений до сложных численных моделей, требующих компьютерного моделирования.
Режимы работы динамических систем
При изучении свойств динамических систем важно различать следующие режимы, в которых может находиться рассматриваемая система: равновесный, переходной и периодический.
Равновесный режим, строго говоря, никогда не может иметь места в реальной системе, поскольку она всегда подвержена влиянию внешних воздействий, которые не могут быть точно постоянными. Однако эти воздействия могут быть достаточно малыми, чтобы вызываемые ими изменения координат системы лежали в настолько узких пределах, что с ними можно было бы практически не считаться. Именно в этом смысле мы и будем далее применять термины «равновесный режим» и «равновесное состояние системы» — состояние, в котором находится система при равновесном режиме.
Под термином «состояние системы» обычно понимают совокупность значений всех величин, характеризующих состояния ее элементов в рассматриваемый момент времени.
Переходным режимом называется режим перехода динамической системы, из одного установившегося режима в другой. Переходной режим возникает в системе под влиянием изменения внешнего воздействия на какой-либо из ее элементов.
В системах автоматического регулирования переходные режимы наступают, например, при изменении нагрузки регулируемого объекта или при изменении задания.
Периодическим режимом называется такой режим системы, при котором через определенные разные друг другу промежутки времени система приходит в одни и те же состояния.
Минимальный промежуток времени, в конце которого система приходит в состояние, совпадающее с ее состоянием в начале этого промежутка времени, называется периодом.
Автоколебательные и вынужденные колебания
Периодический режим в системе автоматического регулирования может возникать по причинам, связанным с внутренними свойствами самой системы.
Если возникающий таким образом периодический режим является устойчивым, т. е. если он восстанавливается после небольших отклонений, то он может сохраняться неограниченно большое время. Такой периодический режим называется автоколебательным.
Характерными особенностями автоколебательного режима являются его существование при отсутствии возмущающих воздействий и его устойчивость.
Периодический режим в любой системе может иметь место также в результате действия периодически изменяющегося, внешнего воздействия. Так, например, периодический режим, неизбежно возникнет .в системе автоматической стабилизации платформы орудия, установленного на качающемся корабле.
В отличие от автоколебаний периодический режим, вызываемый периодически изменяющимся внешним возмущением, называется режимом вынужденных колебаний.
Устойчивость и требования к динамическим свойствам
В результате действия возмущений состояние системы может отклоняться от заданного. При этом, в каждой работоспособной системе автоматического регулирования образуются воздействия, направленные к восстановлению в системе заданного или близкого к нему состояния.
Поскольку системы автоматического регулирования являются динамическими системами, то восстановление заданного состояния не может происходить мгновенно, а связано с более или менее длительным переходным процессом.
Процесс установления заданного состояния в системе автоматического регулирования называется процессом регулирования.
Для того чтобы устанавливающиеся в системе автоматического регулирования равновесные режимы могли сохраняться достаточно продолжительное время, необходимо, чтобы эти режимы были устойчивыми, т. е. чтобы они восстанавливались после небольших отклонений, вызванных внешними возмущениями.
Системы, в которых равновесные режимы, неустойчивы, как правило, являются неработоспособными. Поэтому одной из важнейших задач исследования динамических свойств систем автоматическою регулирования является задача исследования устойчивости ее равновесных состояний.
Методы исследования переходных процессов в системах автоматического регулирования
При создании систем автоматического регулирования, при проектировании автоматических регуляторов, и при их настройке бывает валено знать не только, будет ли система устойчива при определенных значениях параметров, но также и то, в каких пределах могут изменяться параметры системы без нарушения условий ее устойчивости.
Условие устойчивости, однако, является не единственным условием, которому должна удовлетворять работоспособная система автоматического регулирования. Весьма часто к динамическим свойствам системы предъявляется еще ряд требований, связанных с желательной формой процесса регулирования.
Эти требования, как правило, определяют допустимую длительность процесса регулирования, частоту и интенсивность затухания колебаний координат системы, могущих возникнуть в процессе регулирования.
Для суждения об этих показателях, очевидно, необходимо располагать методами, позволяющими определять значения этих показателей на основании данных о структуре системы и параметрах ее элементов, а также оценивать влияние изменений структуры и параметров системы на показатели процесса регулирования.
Методы исследования переходных процессов в системах автоматического регулирования существенно отличаются в случаях, когда движение системы описывается линейными и нелинейными дифференциальным уравнениями.
Нормальным режимом некоторых систем автоматического регулирования является автоколебательный режим, при котором состояние системы совершает периодические колебания вблизи ее заданного состояния. В этих случаях существенно иметь возможность оценить наперед еще при создании системы, каковы будут амплитуда а частота этих колебаний и не будут ли они превосходить допустимых для данной системы значений.
Кроме того, поскольку в большинстве случаев некоторые параметры системы могут в определенных пределах изменяться бывает важно выяснить, как. сказываются эти изменения параметров на амплитуде и частоте автоколебаний. Обладая этими знаниями, можно изменять свойства таких систем в желательном направлении.
Для суждения о динамических свойствах системы автоматического регулирования можно воспользоваться законом изменения во времени координат рассматриваемой системы, под действием определенного возмущения, в виде аналитического выражения, графика или таблицы.
Если такой закон тем или иным способом получен, то его рассмотрение позволяет высказать определенные суждения об устойчивости рассматриваемой системы, форме процесса регулирования и характере периодических режимов, если они имеют место.
Поэтому распространенными методами исследования динамических свойств систем автоматического регулирования являются методы, основанные на представлении переходных процессов в этих системах в виде определенной функции времени.
В весьма простых случаях законы изменения во времени движения системы одним из известных аналитических методов. В более сложных случаях приходится прибегать к приближенным (графо-аналитическим) методам интегрирования уравнений движения.
О динамических свойствах систем автоматического регулирования можно судить, однако, не только по их временным характеристикам.
Для этой цели можно пользоваться также зависимостями, характеризующими периодические режимы, устанавливающиеся в этих системах под воздействием гармонически изменяющегося возмущения. Такие зависимости называются частотными характеристиками.
Эти методы оказываются весьма эффективными для линейных систем, а также для некоторых частных видов нелинейных систем автоматического регулирования.
Исключительно большое значение для исследования динамических свойств систем автоматического регулирования имеет представление движений динамических систем в фазовом пространстве.
Фазовым пространством называется такое пространство, каждой точке которого однозначно соответствует вполне определенное состояние динамической системы.
Поскольку состояние динамической системы определяется совокупностью значений всех ее координат, то для этой цели по осям этого пространства откладываются значения координат рассматриваемой системы, или однозначно связанные со значениями координат значения производных одной из ее координат.
Для обеспечения взаимно однозначного соответствия между состоянием рассматриваемой системы и положением точки, изображающей в фазовом пространстве это состояние (т. е. чтобы каждому состоянию системы соответствовала одна определенная точка фазового пространства, а каждому положению изображающей точки соответствовало вполне определенное состояние системы), необходимо, чтобы число измерений (число осей) фазового пространства было равно числу координат, определяющих состояние системы.
В процессе движения системы ее состояние непрерывно изменяется, вследствие чего непрерывно изменяется и положение изображающей точки в фазовом пространстве.
Каждому определенному процессу движения системы автоматического регулирования в фазовом пространстве этой системы соответствует определенная траектория движения изображающей точки, а совокупности движений системы при различных ее начальных состояниях и возмущениях соответствует, очевидно, совокупность траекторий движения изображающей точки — фазовых траекторий.
По этой совокупности фазовых траекторий, называемой фазовой диаграммой, можно также судить о динамических свойствах рассматриваемой системы.
Таким образом, задача исследования динамических свойств системы автоматического регулирования часто может быть сведена к задаче выявления структуры фазового пространства данной системы.
Заключение
Динамические системы представляют собой сложные взаимосвязанные структуры, где изменения в одной части системы распространяются и влияют на всю систему в целом. Исследование этих систем требует глубокого понимания математических принципов и способности применять эти принципы для анализа и предсказания поведения системы.