Нелинейные системы автоматического управления - это системы, в которых выходная величина не пропорциональна входной величине, а зависит от нелинейных функций, таких как степени, логарифмы, синусы и т.д. Нелинейные системы автоматического управления характеризуются сложным поведением, таким как многостабильность, хаос, бифуркации, гистерезис, самоорганизация и т.д.
Для анализа и синтеза нелинейных систем автоматического управления используются различные методы, такие как линеаризация, теория устойчивости Ляпунова, теория возмущений, теория фазовых портретов, теория катастроф, теория хаоса и т.д.
Для моделирования и исследования нелинейных систем автоматического управления применяются компьютерные программы, такие как MATLAB, Simulink, Mathematica, Maple и т.д.
Теория линейных автоматических систем основывается на предположении, что все звенья этих систем описываются линейными дифференциальными уравнениями. Эти уравнения были получены нами в результате линеаризации исходных (реальных) дифференциальных уравнений звеньев, которые в действительности всегда являются нелинейными.
Поэтому, используя теорию линейных систем, фактически исследуются не реальные автоматические системы, а их идеализированные прообразы - линейные модели. Такой прием дает большие преимущества в смысле простоты решения задачи, так как оперировать линейными уравнениями несравненно проще, чем с нелинейными.
Однако очень часто процессы в реальных системах существенно отличаются от процессов в их линейных моделях из-за влияния различных неучтенных нелинейных факторов - люфтов, трения, зон нечувствительности, ограниченной мощности исполнительных элементов, насыщения усилителей и т.д. Более того, иногда спроектированные с помощью линейных методов автоматические системы на деле оказываются совершенно неработоспособными.
Какие автоматические системы являются нелинейными
Обычно заранее очень трудно предсказать, насколько полно линейная модель соответствует реальной системе. Но можно указать случаи, когда та или иная система даже приближенно не может быть исследована с помощью линейных методов. Это бывает, когда в состав автоматической системы входят звенья о ярко выраженными нелинейными характеристиками.
Часто такие звенья называют существенно нелинейными. Наиболее характерны в этом отношении звенья релейного типа (например, релейные усилители, магнитные усилители в релейном режиме, некоторые типы измерительных и исполнительных элементов и т.д.).
Системы, содержащие существенно нелинейные звенья, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и не могут быть линеаризованы.
Часто приходится считаться и с наличием в автоматических системах нелинейных звеньев с характеристиками, отличающимися от релейных. Такие звенья часто встречаются в системах.
Характеристику с насыщением имеют, например, магнитные, электронные и полупроводниковые усилители, исполнительные элементы о механическими упорами в крайних положениях исполнительного органа и т.д.
К сожалению, в сложных автоматических системах (например, в системах управления самолетами, ракетами и т.д.) очень трудно заранее предугадать диапазон изменения величины на входе какого-либо звена. Поэтому системы, содержащие такие звенья можно исследовать как линейные лишь в первом приближении. Для получения более полной информации о процессах в таких системах их необходимо описывать нелинейными дифференциальными уравнениями.
В автоматических системах встречаются и другие типы нелинейных характеристик, часто имеющие более сложный характер.
Пока мы рассматривали нелинейные звенья, которые неизбежно встречаются в тех или иных автоматических системах. Но в некоторых случаях нелинейные звенья вводят в системы преднамеренно с целью улучшения их качественных показателей. В частности, применение нелинейного управляющего устройства может привести к существенному упрощению конструкции системы.
Особенности нелинейных автоматических систем
Отметим важнейшие особенности нелинейных систем.
1. К линейным системам применим принцип суперпозиции. Это есть одно из важнейших свойств линейных систем, благодаря которому существенно упрощается задача их исследования.
Согласно этому принципу при одновременном действии на линейную систему нескольких входных воздействий реакция системы (т.е. закон изменения управляемой величины или ошибки) может быть получена как сумма реакций на каждое отдельно взятое воздействие.
Так, оценивая точность автоматической системы при одновременном действии гадающего и возмущающих воздействий, полную ошибку системы мы определяли как сумму ошибок, вызванных отдельно взятыми воздействиями.
Использование принципа суперпозиции позволяет также определить реакцию системы на любое входное воздействие, если известна ее реакция на какое-либо типовое воздействие (ступенчатое, импульсное или синусоидальное). При этом амплитуда типового воздействия несущественна. Принцип суперпозиции неприменим к нелинейным системам и это обстоятельство существенно затрудняет их исследования.
2. Протекающие в нелинейных системах процессы и устойчивость нелинейных системы зависят от формы входного сигнала, а при одной и той же форме - от его амплитуды.
Так, при разных амплитудах входного ступенчатого сигнала переходный процесс может быть затухающим и расходящимся, колебательным и апериодическим.
Устойчивость и процессы в нелинейных системах зависят также от начальных условий, т.е. от состояния системы в момент поступления входного сигнала. Может оказаться, например, что при малых начальных условиях процесс в системе затухает, а при больших - расходится, т.е. система устойчива "в малом" и неустойчива "в большом". С подобного рода процессами мы не встречались в линейных системах.
3. В нелинейных системах возможны устойчивые периодические колебания. Эти колебания возникают при отсутствии внешних периодических воздействий только за счет внутренних свойств самой системы и имеют определенную амплитуду и частоту.
Такие колебания называются автоколебаниями. В ряде случаев возможны не один, а несколько режимов автоколебаний, причем только от начальных условий зависит, какие из них установятся в системе.
Так, при сравнительно небольших начальных условиях в системе могут установиться высокочастотные автоколебания, а при больших начальных условиях - низкочастотные автоколебания с большей амплитудой.
Появление автоколебаний во многих случаях нежелательно, а иногда и совершенно недопустимо. Так, колебательный режим работы приводит к разрушению лопаток турбокомпрессоров, автоколебания о большой амплитудой могут привести к разрушению конструкции корпуса самолетов и ракет, при непрерывной работе систем в режиме автоколебаний происходит износ подшипников, контактных поверхностей потенциометров и реле и т.д.
Однако существуют и такие нелинейные системы, для которых режим автоколебаний является основным рабочим режимом. В атом же режиме работает различные генераторы колебаний (например, мультивибраторы).
Автоколебания - это специфическая особенность нелинейных систем. Они невозможны в линейных системах. Незатухающие колебания в линейных системах, возникающие на колебательной границе устойчивости, не являются автоколебаниями, так как уже сам термин "граница устойчивости" говорит о том, что малейшее изменение параметров системы приводит либо к затухающему, либо расходящемуся колебательному процессу.
Таким образом, в отличие от линейной системы нелинейная может иметь несколько положений равновесия: равновесное состояние с постоянным значением регулируемой величины, равновесное состояние с периодическим изменением управляемой величины при отсутствии внешних воздействий (автоколебания) и др.
При этом управляемая величина может стремиться к положению равновесия (равновесное положение устойчиво) при бесконечно малых начальных отклонениях (устойчивость в малом), при конечных отклонениях (устойчивость в большом) и при неограниченных отклонениях (устойчивость в целом).
Методы исследования нелинейных автоматических систем
Основная трудность при исследовании нелинейных автоматических систем состоит в том, что мы лишены возможности использовать удобный и практичный аппарат линейной теории автоматического управления - передаточные функции, амплитудно-фазовые частотные характеристики, критерии устойчивости и т.д.
Нелинейные автоматические системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Лишь для небольшого числа таких уравнений можно найти точные решения.
Разработанные до сих пор точные и приближенные методы позволяют решать лишь некоторые частные задачи и не дают возможности исследовать все разнообразие возникающих в нелинейных системах процессов.
Перечислим основные из этих методов.
1. Прямой метод А.М.Ляпунова является общим методом исследования устойчивости нелинейных систем.
2. Метод фазовой плоскости дает наглядное представление не только об устойчивости, но и о характере процесса в системе.
3. Метод гармонической линеаризации - наиболее распространенный приближенный метод исследования нелинейных
4. Метод моделирования на моделирующих установках непрерывного действия и численного моделирования на цифровых вычислительных машинах оказывает очень большую пользу как при расчете нелинейных систем, так и при проверке правильности полученных аналитических результатов.
5. Для построения переходных процессов в нелинейных системах используются численные методы (например, метод припасовывания), графические и графо-аналитические методы.