При последовательном соединении приборов с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 1) полное сопротивление цепи нельзя находить арифметическим суммированием. Если обозначить полное сопротивление через z, то для его определения служит формула:
![](/uploads/posts/2013-07/1374751981_1.png)
Как видно, полное сопротивление является геометрической суммой активного и реактивного сопротивлений. Так, например, если r = 30 Ом и XL = 40 Ом, то
![](/uploads/posts/2013-07/1374751979_2.png)
т. е. z получилось меньше, чем r + XL = 30 + 40 = 70 Ом.
Для упрощения расчетов полезно знать, что если одно из сопротивлений (r или xL) превосходит другое в 10 или более раз, то можно пренебречь меньшим сопротивлением и считать, что z равно большему сопротивлению. Ошибка весьма невелика.
Например, если r = 1 Ом и xL = 10 Ом, то
![](/uploads/posts/2013-07/1374752033_3.png)
Ошибка лишь 0,5 % вполне допустима, так как сами сопротивления r и х бывают известны с меньшей точностью.
Итак, если
![](/uploads/posts/2013-07/1374752018_4.png)
То
![](/uploads/posts/2013-07/1374752019_5.png)
а если
![](/uploads/posts/2013-07/1374752019_6.png)
То
![](/uploads/posts/2013-07/1374751974_7.png)
При параллельном соединении ветвей, имеющих активные и реактивные сопротивления (рис. 2), расчет полного сопротивления удобнее делать с помощью активной проводимости
![](/uploads/posts/2013-07/1374752034_8.png)
и реактивной проводимости
![](/uploads/posts/2013-07/1374752056_9.png)
Полная проводимость цепи у равна геометрической сумме, активной и реактивной проводимостей:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752045_10.png)
А полное сопротивление цепи является величиной, обратной у,
![](/uploads/posts/2013-07/1374752019_11.png)
Если выразить проводимость через сопротивления, то нетрудно получить следующую формулу:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752017_12.png)
Эта формула напоминает известную формулу
![](/uploads/posts/2013-07/1374751961_13.png)
но только в знаменателе стоит не арифметическая, а геометрическая сумма сопротивлений ветвей.
Пример. Найти полное сопротивление, если параллельно соединены приборы, имеющие r = 30 Он и xL = 40 Ом.
Решение.
![](/uploads/posts/2013-07/1374751992_14.png)
При расчете z для параллельного соединения можно для упрощения пренебречь большим сопротивлением, если оно превосходит меньшее в 10 и более раз. Ошибка не будет превышать 0,5 %
Рис. 1. Последовательное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением
Рис. 2. Параллельное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением
Следовательно, если
![](/uploads/posts/2013-07/1374751988_15.png)
То
![](/uploads/posts/2013-07/1374752054_16.png)
а если
![](/uploads/posts/2013-07/1374752030_17.png)
То
![](/uploads/posts/2013-07/1374752034_18.png)
Принцип геометрического сложения применяется для цепей переменного тока также в случаях, когда надо складывать активные и реактивные напряжения или токи. Для последовательной цепи по рис. 1 складываются напряжения:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752003_19.png)
При параллельном соединении (рис. 2) складываются токи:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752052_20.png)
Если же последовательно или параллельно соединены приборы, имеющие только одни активные или только одни индуктивные сопротивления, то сложение сопротивлений или проводимостей и соответствующих напряжений или токов, а также активных или реактивных мощностей производится арифметически.
При любой цепи переменного тока закон Ома можно писать в следующем виде:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752005_21.png)
где z — полное сопротивление, вычисляемое для каждого случая соединения так, как это было показано выше.
Коэффициент мощности cosφ для любой цепи равен отношению активной мощности Р к полной S. При последовательном соединении это отношение можно заменить отношением напряжений или сопротивлений:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752024_22.png)
При параллельном соединении получим:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752660_40.png)
![](/uploads/posts/2013-07/1374752029_24.png)
Вывод основных расчетных формул для последовательной цепи переменного тока, имеющей активное и индуктивное сопротивления, можно сделать следующим образом.
Проще всего построить векторную диаграмму для последовательной цепи (рис. 3).
Рис. 3. Векторная диаграмма для последовательной цепи с активным и индуктивным сопротивлением
На этой диаграмме показаны вектор тока I, вектор напряжения UA на активном участке, совпадающий по направлению с вектором I, и вектор напряжения UL на индуктивном сопротивлении. Это напряжение опережает ток на 90° (напомним, что векторы надо считать вращающимися против часовой стрелки). Полное напряжение U представляет собой суммарный вектор, т. е. диагональ прямоугольника со сторонами UA и UL. Иначе говоря, U есть гипотенуза, а UA и UL — катеты прямоугольного треугольника. Отсюда следует, что
![](/uploads/posts/2013-07/1374751962_25.png)
Т. е. что напряжения на активном и реактивном участках складываются геометрически.
Разделив обе части равенства на I2, найдем формулу для сопротивлений:
![](/uploads/posts/2013-07/1374752018_26.png)
или
![](/uploads/posts/2013-07/1374751973_27.png)