Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:
Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:
Исторические предпосылки
Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:
В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:
На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.
Мнимые числа стали настоящей палочкой — выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.
Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.
Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.
Из курса физики нам известно, что переменный ток — это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.
В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи него электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.
Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз:
В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:
Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.
Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:
Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление — в показательной форме.
Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров.
Пример решения задачи с применением комплексных чисел
Дано:
-
напряжение на катушке 50 В,
-
сопротивление резистора 25 Ом,
-
индуктивность катушки 500 мГн,
-
электроемкость конденсатора 30 мкф,
-
сопротивление провода катушки 10 Ом,
-
частота сети 50 Гц.
Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.
Решение:
Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.
Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.
Далее найдем ток и соответственно показания амперметра:
Итак, амперметр показывает ток 0,317 А — это ток через всю последовательную цепь.
Теперь найдем емкостное сопротивление конденсатора, затем определим его комплексное сопротивление:
Далее вычислим полное комплексное сопротивление данной цепи:
Теперь найдем действующее напряжение, приложенное к цепи:
Вольтметр покажет действующее напряжение 19,5 вольт.
Наконец, найдем мощность, которую покажет ваттметр с учетом разности фаз между током и напряжением
Ваттметр покажет 3,51 Ватт.
Теперь вы понимаете, какое важное место комплексные числа занимают в электротехнике. Они применяются для удобного расчета электрических цепей. На этой же основе работают и многие электронные измерительные приборы.