Уравнения Максвелла - это четыре уравнения, описывающие электромагнитное поле и его взаимодействие с зарядами и токами. Они были сформулированы в XIX веке шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом на основе предшествующих работ Майкла Фарадея, Андре-Мари Ампера и Карла Фридриха Гаусса.
Уравнения Максвелла объединили в единую теорию электричество, магнетизм и свет, показав, что свет является электромагнитной волной, распространяющейся в пространстве.
Уравнения Максвелла имеют огромное значение для физики, техники и современной цивилизации. Они лежат в основе многих явлений, таких как радио, телевидение, мобильная связь, лазеры, рентгеновские лучи, оптические волокна, электроника, электроэнергетика и многое другое. Они также позволили развить новые области науки, такие как специальная и общая теории относительности, квантовая механика и космология.
Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.
Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.
Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).
Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.
Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.
В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики.
В своей математической теории электромагнетизма Джеймс Клерк Максвелл описал известные электрические и магнитные эффекты в терминах четырех уравнений, связывающих электрические и магнитные поля и их источники — заряженные частицы и электрические токи.
Разработка этой теории явилась высшим достижением в истории науки. Теория Максвелла до сих пор используется физиками и инженерами-электриками.
Теория получила дальнейшее развитие в XX веке для объяснения квантовой теории света. Но даже в квантовой электродинамике уравнения Максвелла остаются в силе, хотя их интерпретация несколько отличается от классической теории. В любом случае теория Максвелла и сегодня продолжает оставаться существенной частью теоретической физики.
Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме.
Практически уравнения описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.
Каждое уравнение наиболее полно выражается как дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее вариации электрического и магнитного полей в зависимости от вариаций положения или времени, а также плотности заряда и тока в пространстве.
Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.
Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:
где i, j и k – единичные координатные векторы
Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:
Градиент - вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Дивергенция (расхождение) - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.
Ротор (вихрь, ротация) - векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.
Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.
Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.
Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.
Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.
Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.
Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.
Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.
Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.
Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.
Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.
Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.
Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.
Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды:
