При последовательном соединении приборов с активным и индуктивным сопротивлениями (рис. 1) полное сопротивление цепи нельзя находить арифметическим суммированием. Если обозначить полное сопротивление через z, то для его определения служит формула:
Как видно, полное сопротивление является геометрической суммой активного и реактивного сопротивлений. Так, например, если r = 30 Ом и XL = 40 Ом, то
т. е. z получилось меньше, чем r + XL = 30 + 40 = 70 Ом.
Для упрощения расчетов полезно знать, что если одно из сопротивлений (r или xL) превосходит другое в 10 или более раз, то можно пренебречь меньшим сопротивлением и считать, что z равно большему сопротивлению. Ошибка весьма невелика.
Например, если r = 1 Ом и xL = 10 Ом, то
Ошибка лишь 0,5 % вполне допустима, так как сами сопротивления r и х бывают известны с меньшей точностью.
Итак, если
То
а если
То
При параллельном соединении ветвей, имеющих активные и реактивные сопротивления (рис. 2), расчет полного сопротивления удобнее делать с помощью активной проводимости
и реактивной проводимости
Полная проводимость цепи у равна геометрической сумме, активной и реактивной проводимостей:
А полное сопротивление цепи является величиной, обратной у,
Если выразить проводимость через сопротивления, то нетрудно получить следующую формулу:
Эта формула напоминает известную формулу
но только в знаменателе стоит не арифметическая, а геометрическая сумма сопротивлений ветвей.
Пример. Найти полное сопротивление, если параллельно соединены приборы, имеющие r = 30 Он и xL = 40 Ом.
Решение.
При расчете z для параллельного соединения можно для упрощения пренебречь большим сопротивлением, если оно превосходит меньшее в 10 и более раз. Ошибка не будет превышать 0,5 %
Рис. 1. Последовательное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением
Рис. 2. Параллельное соединение участков цепи с активным и индуктивным сопротивлением
Следовательно, если
То
а если
То
Принцип геометрического сложения применяется для цепей переменного тока также в случаях, когда надо складывать активные и реактивные напряжения или токи. Для последовательной цепи по рис. 1 складываются напряжения:
При параллельном соединении (рис. 2) складываются токи:
Если же последовательно или параллельно соединены приборы, имеющие только одни активные или только одни индуктивные сопротивления, то сложение сопротивлений или проводимостей и соответствующих напряжений или токов, а также активных или реактивных мощностей производится арифметически.
При любой цепи переменного тока закон Ома можно писать в следующем виде:
где z — полное сопротивление, вычисляемое для каждого случая соединения так, как это было показано выше.
Коэффициент мощности cosφ для любой цепи равен отношению активной мощности Р к полной S. При последовательном соединении это отношение можно заменить отношением напряжений или сопротивлений:
При параллельном соединении получим:
Вывод основных расчетных формул для последовательной цепи переменного тока, имеющей активное и индуктивное сопротивления, можно сделать следующим образом.
Проще всего построить векторную диаграмму для последовательной цепи (рис. 3).
Рис. 3. Векторная диаграмма для последовательной цепи с активным и индуктивным сопротивлением
На этой диаграмме показаны вектор тока I, вектор напряжения UA на активном участке, совпадающий по направлению с вектором I, и вектор напряжения UL на индуктивном сопротивлении. Это напряжение опережает ток на 90° (напомним, что векторы надо считать вращающимися против часовой стрелки). Полное напряжение U представляет собой суммарный вектор, т. е. диагональ прямоугольника со сторонами UA и UL. Иначе говоря, U есть гипотенуза, а UA и UL — катеты прямоугольного треугольника. Отсюда следует, что
Т. е. что напряжения на активном и реактивном участках складываются геометрически.
Разделив обе части равенства на I2, найдем формулу для сопротивлений:
или
