Понятия и формулы
Последовательно-параллельное, или смешанное, соединение представляет собой сложное соединение трех и более сопротивлений. Результирующее сопротивление при смешанном соединении рассчитывается поэтапно с применением формул расчета сопротивлений при последовательном и параллельном соединениях.
Примеры
1. Рассчитать последовательно-параллельное соединение трех сопротивлений по схеме на рис. 1.
Сначала заменим параллельно соединенные сопротивления r2 и r3 результирующим сопротивлением r(2-3):
r(2-3)=(r2∙r3)/(r2+r3 )=(10∙20)/30=6,6 Ом.
Результирующее сопротивление всей схемы r=r1+r(2-3)=5+6,6=11,6 Ом.
Рис. 1.
2. Какой ток протекает по цепи (рис. 2) в случаях разомкнутого и замкнутого рубильника P? Как изменяется напряжение на сопротивлении r2 в обоих случаях?
Рис. 2.
а) Рубильник разомкнут. Результирующее сопротивление последовательно включенных сопротивлений r1 и r2
r(1-2)=r1+r2=25 Ом.
Ток I(1-2)=U/r(1-2) =100/25=4 А.
Падение напряжения на сопротивлении r2
U2=I(1-2)∙r2=4∙5=20 В.
б) Рубильник замкнут. Результирующее сопротивление параллельно включенных сопротивлений r1 и r3
r(1-3)=(r1∙r3)/(r1+r3 )=(20∙10)/(20+10)=200/30=6,6 Ом.
Общее сопротивление всей схемы r=r(1-3)+r2=6,6+5=11,6 Ом.
Ток I=U/r=100/11,6=8,62 А.
Падение напряжения на сопротивлении r2 в этом случае равно: U2=I∙r2=8,62∙5=43,25 В.
Во втором случае ток увеличился в результате подключения параллельного сопротивления R3. Больший ток создает большее падение напряжения на сопротивлении r2.
3. Каким должно быть добавочное сопротивление rд, чтобы две параллельно соединенные лампы на напряжение 120 В и ток 0,2 А могли быть включены в сеть напряжением U=220 В (рис. 3)?
Рис. 3.
Напряжение на лампах должно быть равно 120 В. Остальное напряжение (100 В) падает на дополнительном сопротивлении rд. Через сопротивление rд проходит ток двух ламп I=0,4 А.
По закону Ома rд=Uд/I=100/0,4=250 Ом.
4. Электронные лампы с напряжением накала 1,2 В и током накала 0,025 и 0,05 А подключены последовательно к источнику постоянного тока напряжением 4,5 В. Какими должны быть добавочное сопротивление rд и параллельное сопротивление (шунт) к лампе, имеющей меньший ток накала (рис. 4)?
Рис. 4.
Сопротивления в схеме должны быть подобраны так, чтобы протекал ток накала второй лампы I=0,05 А. Напряжение на нитях накаливания электронных ламп будет равно 1,2+1,2=2,4 В. Вычтя эту величину из напряжения батареи, получим величину падения напряжения на добавочном сопротивлении rд: Uд=4,5-2,4=2,1 В.
Отсюда дополнительное сопротивление rд=(Uд )/I=2,1/0,05=42 Ом.
Ток накала 0,05 А не должен весь протекать через нить первой электронной лампы. Половина этого тока (0,05-0,025=0,025 А) должна пройти через шунт r. Напряжение на шунте такое же, как и на нити лампы, т. е. 1,2 В. Отсюда сопротивление шунта равно: r=1,2/0,025=48 Ом.
5. Каковы результирующие сопротивление цепи и ток в ней в схеме на рис. 5?
Рис. 5.
Прежде всего, определим результирующее сопротивление параллельно соединенных сопротивлений:
r(1-2)=(r1∙r2)/(r1+r2 )=(2∙4)/(2+4)=8/6=1,3 Ом;
r(4-5)=(r4∙r5)/(r4+r5 )=(15∙5)/(15+5)=75/20=3,75 Ом.
Результирующее сопротивление цепи равно:
r=r(1-2)+r3+r(4-5)=1,3+10+3,75=15,05 Ом.
Результирующий ток при напряжении U=90,5 В
I=U/r=90,5/15,05=6 А.
6. Рассчитать результирующее сопротивление сложного последовательно-параллельного соединения в схеме на рис. 6. Подсчитать результирующий ток I, ток I4 и падение напряжения на сопротивлении r1.
Рис. 6.
Результирующая проводимость параллельно включенных сопротивлений
1/r(3-4-5) =1/r3 +1/r4 +1/r5 =1/5+1/10+1/20=7/20 сим;
r(3-4-5)=20/7=2,85 Ом.
Сопротивление цепи из r1 и r2 равно:
r(1-2)=r1+r2=15+5=20 Ом.
Результирующая проводимость и сопротивление между точками А и В соответственно равны: 1/rAB =1/r(3-4-5) +1/r(1-2) =7/20+1/20=8/20 сим; rAB=20/8=2,5 Ом.
Результирующее сопротивление всей схемы r=rAB+r6=2,5+7,5=10 Ом.
Результирующий ток I=U/r=24/10=2,4 А.
Напряжение между точками А и В равно напряжению источника U за вычетом падения напряжения на сопротивлении r6
UAB=U-I∙r6=24-(2,4∙7,5)=6 В.
На это напряжение включено сопротивление r4, поэтому ток, проходящий через него, будет равен:
I4=UAB/r4 =6/10=0,6 А.
Сопротивления r1 и r2 имеют общее падение напряжения UAB, поэтому ток, проходящий через сопротивление r1, равен:
I1=UAB/r(1-2) =6/20=0,3 А.
Падение напряжения на сопротивлении r1
Ur1=I1∙r1=0,3∙15=4,5 В.
7. Каковы результирующее сопротивление и ток в схеме на рис. 7, если напряжение источника U=220 В?
Рис. 7.
Начинаем с контура, расположенного справа от узлов 3 и 3. Сопротивления r7, r8, r9 соединены последовательно, поэтому
r(7-8-9)=r7+r8+r9=30+40+20=90 Ом.
Параллельно этому сопротивлению включено сопротивление r6, поэтому результирующее сопротивление в узле 3 и 3 (разрез a)
ra=(r6∙r(7-8-9))/(r6+r(7-8-9))=(20∙90)/(20+90)=1800/110=16,36 Ом.
Последовательно с сопротивлением ra включены сопротивления r4 и r5:
r(4-5-a)=10+20+16,36=46,36 Ом.
Результирующее сопротивление в узлах 2 и 2 (разрез b)
rb=(r(4-5-a)∙r3)/(r(4-5-a)+r3)=(46,36∙30)/(46,36+30)=1390,8/76,36=18,28 Ом.
Результирующее сопротивление всей цепи r=r1+rb+r2=40+18,28+10=68,28 Ом.
Результирующий ток I=U/r=220/68,28=3,8 А.