Школа для Электрика. Все Секреты Мастерства. Образовательный сайт по электротехнике

ПОИСК ПО САЙТУ:

 
  
  

 

Справочник электрика » Основы электротехники

Почему для расчетов в цепях переменного тока используются комплексные числа

 

Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:

Комплексное число

Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Комплексное число может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме

Исторические предпосылки

Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:

Уравнение Кардано

В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:

Правило умножения Кардано

На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.

Мнимые числа стали настоящей палочкой — выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.

Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.

Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.

Переменный ток

Из курса физики нам известно, что переменный ток — это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи него электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.

Синусоидальный ток

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз:

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз

В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:

Действующие значения токов и напряжений в комплексном виде

Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.

Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:

Комплексное значение сопротивления

Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление — в показательной форме.

Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров.

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

Схема для задачи

Дано:

  • напряжение на катушке 50 В,

  • сопротивление резистора 25 Ом,

  • индуктивность катушки 500 мГн,

  • электроемкость конденсатора 30 мкф,

  • сопротивление провода катушки 10 Ом,

  • частота сети 50 Гц.

Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.

Решение:

Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.

Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

Далее найдем ток и соответственно показания амперметра:

Ток

Итак, амперметр показывает ток 0,317 А — это ток через всю последовательную цепь.

Теперь найдем емкостное сопротивление конденсатора, затем определим его комплексное сопротивление:

Комплексное сопротивление

Далее вычислим полное комплексное сопротивление данной цепи:

Полное комплексное сопротивление данной цепи

Теперь найдем действующее напряжение, приложенное к цепи:

Действующее напряжение, приложенное к цепи

Вольтметр покажет действующее напряжение 19,5 вольт.

Наконец, найдем мощность, которую покажет ваттметр с учетом разности фаз между током и напряжением:

Расчет мощности

Ваттметр покажет 3,51 Ватт.

Теперь вы понимаете, какое важное место комплексные числа занимают в электротехнике. Они применяются для удобного расчета электрических цепей. На этой же основе работают и многие электронные измерительные приборы.


Статьи близкие по теме:

  • Закон Ома в комплексной форме
  • Расчет цепей переменного тока
  • Символический метод расчета цепей переменного тока
  • Законы Кирхгофа - формулы и примеры использования
  • Действующие значения тока и напряжения




  • Наш сайт в Facebook:

    Школа для электрика | Основы электротехники | Электричество для чайников
    Электрические аппараты | Справочник электрика
     Электроснабжение | Электрические измерения | Электрические схемы
     Электромонтажные работы | Пусконаладочные работы | Эксплуатация электрооборудования

    Статьи и схемы

    » Школа для электрика
    » Электричество для чайников
    » Электробезопасность
    » Электрические схемы
    » Электроснабжение
    » Основы электротехники
    » Основы электроники
    » Электрические машины
    » Электрические аппараты
    » Автоматизация производственных процессов
    » Альтернативная энергетика
    » Заземление и молниезащита
    » Монтаж электрооборудования
    » Наладка электрооборудования
    » Релейная защита и автоматика
    » Ремонт электрооборудования
    » Экономия электроэнергии
    » Эксплуатация электрооборудования
    » Электрические измерения
    » Электрические системы и сети
    » Электрические станции и подстанции
    » Электрическое освещение
    » Электрооборудование промышленных предприятий
    » Электропривод
    » Электротехнические материалы
    » Электротехнология
    » Статьи на разные темы
    » Видеокурсы и другие обучающие материалы

    Климатическое оборудование IEK для электротехнических шкафов