Школа для Электрика. Все Секреты Мастерства. Образовательный сайт по электротехнике  
ElectricalSchool.info - большой образовательный проект на тему электричества и его использования. С помощью нашего сайта вы не только поймете, но и полюбите электротехнику, электронику и автоматику!
Электрические и магнитные явления в природе, науке и технике. Современная электроэнергетика, устройство электрических приборов, аппаратов и установок, промышленное электрооборудование и системы электроснабжения, электрический привод, альтернативные источники энергии и многое другое.
 
Школа для электрика | Правила электробезопасности | Электротехника | Электроника | Провода и кабели | Электрические схемы
Про электричество | Автоматизация | Тренды, актуальные вопросы | Обучение электриков | Контакты



Изучайте основы электротехники на нашем сайте и освоите методы расчетов, различные типы систем и применение электротехнических устройств. Раздел "Основы электротехники" поможет вам укрепить ваши знания и развить навыки в этой захватывающей области.

 

База знаний | Избранные статьи | Эксплуатация электрооборудования | Электроснабжение
Электрические аппараты | Электрические машины | Электропривод | Электрическое освещение

 Школа для электрика / Справочник электрика / Основы электротехники / Почему для расчетов в цепях переменного тока используются комплексные числа


 Школа для электрика в Telegram

Почему для расчетов в цепях переменного тока используются комплексные числа



Как известно, для решения некоторых типичных задач электротехники применяют комплексные числа. Но для чего их используют и почему это делают именно так? В этом мы и постараемся разобраться по ходу данной статьи. Дело в том, что комплексный метод, или метод комплексных амплитуд, удобен при расчетах сложных цепей переменного тока. И для начала вспомним немного математических основ:

Комплексное число

Как видите, комплексное число z включает в себя мнимую и действительную части, которые между собой различаются и обозначаются в тексте по-разному. Само же комплексное число z может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Комплексное число может быть записано в алгебраической, тригонометрической или показательной форме 

Комплексные числа появились в результате решения уравнений, в которых под корнем получалось отрицательное число. Такие уравнения не имели решений в множестве действительных чисел, поэтому было введено понятие мнимой единицы i, которая является корнем из -1. С помощью комплексных чисел можно решать любые алгебраические уравнения, а также изучать различные функции и преобразования комплексного аргумента.

Исторические предпосылки

Считается, что представление о мнимых числах начало зарождаться в 1545 году, когда итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог Джироламо Кардано в своем трактате «Великое искусство» опубликовал данный метод решения уравнений, где, кстати, признался, что идею ему передал Никколо Тарталья (итальянский математик) за 6 лет до публикации этой работы. В работе Крадано решал уравнения вида:

Уравнение Кардано

В процессе решения данных уравнений ученый вынужден был допустить существование некого «нереального» числа, квадрат которого был бы равен минус единице «-1», то есть будто бы существует квадратный корень из отрицательного числа, и если его теперь возвести в квадрат, то получится, соответственно, отрицательное число, стоящее под корнем. Кардано указал правило умножения, согласно которому:

Правило умножения Кардано

На протяжении трех веков математическое сообщество пребывало в процессе привыкания к новому подходу, предложенному Кардано. Мнимые числа постепенно приживались, однако принимались математиками неохотно. И лишь с публикациями работ Карла Фридриха Гаусса по алгебре, где он доказывал основную теорему алгебры, комплексные числа наконец-то основательно приняли, на дворе был 19 век.

Мнимые числа стали настоящей палочкой — выручалочкой для математиков, ведь сложнейшие задачи стали решаться гораздо проще с приятием существования мнимых чисел.

Так вскоре дело дошло и до электротехники. Электрические цепи переменного тока порой оказывались очень сложными, и для их расчета приходилось вычислять множество интегралов, что зачастую весьма неудобно.

Наконец, в 1893 году гениальный электротехник Карл Август (Чарлз Протеус) Штейнмец выступает в Чикаго на Международном электротехническом конгрессе с докладом «Комплексные числа и их применение в электротехнике», чем фактически знаменует начало практического применения инженерами комплексного метода расчетов электрических цепей переменного тока.

В своем докладе Штейнмец ввел понятие комплексной мощности, которая состоит из активной и реактивной составляющих, и показал, как можно вычислять их с помощью комплексных чисел. Он также разработал методы для анализа и синтеза полифазных систем, которые широко используются в электроэнергетике.

Доклад Штейнмеца произвел большое впечатление на электротехническое сообщество и стал поворотным моментом в развитии теории и практики переменного тока.

Благодаря комплексным числам, инженеры получили мощный инструмент для решения сложных задач, связанных с переменным током. Комплексные числа стали неотъемлемой частью электротехники и электроэнергетики.

Переменный ток

Почему при расчетах переменных токов нельзя использовать те же формулы, что и при расчетах постоянных токов?

При расчетах переменных токов нельзя использовать те же формулы, что и при расчетах постоянных токов, потому что в цепях переменного тока возникают дополнительные эффекты, связанные с индуктивностью и ёмкостью элементов цепи. Эти эффекты приводят к тому, что сопротивление цепи зависит не только от ее активного сопротивления, но и от частоты переменного тока. Кроме того, в цепях переменного тока могут быть фазовые сдвиги между напряжением и током, которые также влияют на характеристики цепи.

Комплексные числа в расчетах переменных токов

Комплексные числа в электротехнике и электронике используются для упрощения расчетов переменных токов и напряжений, а также для анализа фазовых сдвигов, импедансов, резонансов и других явлений в электрических цепях.

Комплексные числа позволяют заменить графические методы решения задач на алгебраические, а также применять общие законы и формулы, которые справедливы для постоянного тока, к переменному току. Они также помогают моделировать различные физические процессы, такие как колебания и волны.

Для расчетов в цепях переменного тока комплексные числа используются, потому что они позволяют учесть фазовые сдвиги между напряжением и током в различных элементах цепи, таких как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности.

Для работы с комплексными числами в электротехнике нужно знать, как выполнять основные алгебраические операции над ними, такие, как сложение, вычитание, умножение и деление, а также как переводить их из алгебраической формы в тригонометрическую или показательную форму и обратно. Также полезно знать, как находить модуль и аргумент комплексного числа, которые соответствуют амплитуде и фазе переменной величины.

Из курса физики нам известно, что переменный ток — это такой ток, который изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

В технике встречаются различные формы переменного тока, однако наиболее распространен сегодня ток переменный синусоидальный, именно такой используется всюду, при помощи его электроэнергия передается, в виде переменного тока она генерируется, преобразуется трансформаторами и потребляется нагрузками. Синусоидальный ток периодически изменяется по синусоидальному (гармоническому) закону.

Синусоидальный ток

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз:

Действующие значения тока и напряжения меньше амплитудных значений в корень из двух раз

В комплексном методе действующие значения токов и напряжений записывают так:

Действующие значения токов и напряжений в комплексном виде

Обратите внимание, что в электротехнике мнимая единица обозначается буквой «j», поскольку буква «i» уже занята здесь для обозначения тока.

Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:

Комплексное значение сопротивления

Сложение и вычитание комплексных значений осуществляется в алгебраической форме, а умножение и деление — в показательной форме.

Давайте разберем метод комплексных амплитуд на примере конкретной схемы с определенными значениями основных параметров. 

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

Схема для задачи

Дано:

  • напряжение на катушке 50 В,

  • сопротивление резистора 25 Ом,

  • индуктивность катушки 500 мГн,

  • электроемкость конденсатора 30 мкф,

  • сопротивление провода катушки 10 Ом,

  • частота сети 50 Гц.

Найти: показания амперметра и вольтметра, а также ваттметра.

Решение:

Для начала запишем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов, которое состоит из действительной и мнимой частей, затем найдем комплексное сопротивление активно-индуктивного элемента.

Вспоминаем! Для получения показательной формы находят модуль z, равный корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей, а также фи, равное арктангенсу частного от деления мнимой части на действительную.

Пример решения задачи с применением комплексных чисел

Далее найдем ток и соответственно показания амперметра:

Ток

Итак, амперметр показывает ток 0,317 А — это ток через всю последовательную цепь.

Теперь найдем емкостное сопротивление конденсатора, затем определим его комплексное сопротивление:

Комплексное сопротивление

Далее вычислим полное комплексное сопротивление данной цепи:

Полное комплексное сопротивление данной цепи

Теперь найдем действующее напряжение, приложенное к цепи:

Действующее напряжение, приложенное к цепи

Вольтметр покажет действующее напряжение 19,5 вольт.

Наконец, найдем мощность, которую покажет ваттметр с учетом разности фаз между током и напряжением

Расчет мощности

Ваттметр покажет 3,51 Ватт.

Теперь вы понимаете, какое важное место комплексные числа занимают в электротехнике. Они применяются для удобного расчета электрических цепей. На этой же основе работают и многие электронные измерительные приборы.

Андрей Повный

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика